S1 =1 cm (wielkość początkowa)
S2 =s1 + 1/3 s1 =4/3 cm
S3 =s2 + 1/3 s2 =7/3 cm
S4 =s3 + 1/3 s3 =10/3 cm
...
Możemy tutaj zaobserwować wzór. Rozmiar skorupy na każdym etapie jest uzyskiwany przez dodanie 1/3 wielkości poprzedniego etapu.
Ogólnie rzecz biorąc, rozmiar skorupy na etapie można wyrazić jako:
Sn =S1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(n-1) S1
Aby określić liczbę skorup, które zrzucają krab (z wyłączeniem początkowej powłoki), musimy znaleźć wartość n, dla której Sn ≥ 10 cm.
10 cm ≤ Sn
10 cm ≤ S1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(n-1) S1
10 cm ≤ s1 [1 + (1/3) + (1/3)^2 + ... + (1/3)^(n-1)]
Możemy rozpoznać wyrażenie wewnątrz nawiasów jako sumę serii geometrycznej o pierwszym okresie 1 i wspólnym stosunku 1/3. Suma serii geometrycznej jest podana przez:
Sum =A1 / (1 - R), gdzie A1 jest pierwszym terminem, a R jest wspólnym stosunkiem.
Podłączenie A1 =1 i R =1/3, otrzymujemy:
Sum =1/(1 - 1/3) =3/2
Dlatego,
10 cm ≤ S1 [3/2]
S1 ≥ (10 cm) * (2/3)
S1 ≥ 6,67 cm
Oznacza to, że krab zrzuci skorupę, gdy osiągnie rozmiar około 6,67 cm.
Aby określić liczbę zrzuconych powłok, musimy znaleźć wartość n taką, że Sn ≥ 6,67 cm.
6,67 cm ≤ S1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(n-1) S1 S1
6,67 cm ≤ s1 [1 + (1/3) + (1/3)^2 + ... + (1/3)^(n-1)]
Ponieważ suma serii geometrycznej wynosi 3/2, mamy:
6,67 cm ≤ s1 * (3/2)
S1 ≥ (6,67 cm) * (2/3)
S1 ≥ 4,45 cm
Oznacza to, że krab zrzuci skorupę, gdy jego rozmiar przekroczy 4,45 cm.
Teraz musimy określić liczbę etapów lub Molts, które krab przechodzi, zanim jego rozmiar przekroczy 4,45 cm.
Począwszy od S1 =1 cm, możemy obliczyć kolejne etapy w następujący sposób:
S2 =1 cm + (1/3) cm =4/3 cm
S3 =4/3 cm + (1/3) * 4/3 cm =7/3 cm
S4 =7/3 cm + (1/3) * 7/3 cm =10/3 cm
Widzimy, że S4 jest większy niż 4,45 cm. Dlatego krab zrzuci swoją skorupę podczas przejścia z trzeciego etapu (S3) do czwartego etapu (S4).
Tak więc krab zrzuci 3 skorupy (z wyłączeniem początkowej skorupy) do czasu, gdy jego rozmiar przekroczy 10 cm.